7 ago. 2018

Un rinconcito para las matemáticas … ¡en New York!





En distintas ocasiones, en este y otros espacios, he hablado de los museos de las matemáticas a modo de recomendaciones de lo que veía en la red, pero en esta ocasión he tenido la oportunidad de visitar uno de ellos, el National Museum of Mathematics, ¡el Momath en New York!.
Una pequeña plaza, en la calle 26, con puertas de cristal cuyo asidero es un número pi color rojo que invitaba a divertirse, y eso hicimos… nos colocamos nuestra placa de visitante para comenzar a sorprendernos en cada rincón, porque pese a ser un espacio pequeño, a cada rincón merece la pena dedicarle un rato.
A la entrada, Carmen se encontró con un cilindro de cuerdas que de manera sencilla, la silla facilitaba el giro en sentidos opuestos, se podía formar un hiperboloide (de una hoja). Primer contacto con la geometría, que con un pequeño esfuerzo transformó el cilindro en el hiperboloide.

(Para ampliar información sobre la construcción: Wikcionario)

Los coches caminaban por la cinta de Moebius cual si aquel circuito no tuviese principio ni fin, los niños se sorprendían cuando el coche recorría un lado y otro de la pista sin aparente cambio ni parada. Y es que la superficie de aquel circuito tenía una sola cara y un solo borde (superficie reglada, no orientable). Nuestro segundo contacto fue por tanto con la topología.


Comenzamos el momento juego, al acercarnos a las propiedades geométricas de aquellos extraños triciclos que era capaces de girar con ruedas distintas, de forma cuadrada, al girar por una superficie no plana. Si la rueda tiene forma cuadrada, supongo que una ecuación nos permitirá diseñar el suelo. Así nos acercamos al álgebra de una manera muy funcional, facilitando el desplazamiento. Esta calle se llama catenaria (cada uno de los lados elevados tiene la misma longitud que el lado del cuadrado)… un vértice, un cambio de pendiente, … este circuito circular permitía que el triciclo tuviese las ruedas de distinto tamaño delante y detrás, porque el propio circuito modificaba la longitud de la circunferencia por donde caminaban Carmen y Juan…






El deporte también tiene su relación particular con las matemáticas, ¿qué ángulo podemos dar al balón para encestar en la cesta de baloncesto? Modificar el ángulo, la inclinación sobre el plano horizontal, una prueba tras otra, una gráfica se dibuja por cada uno de los lanzamientos. Seguimos conociendo relaciones y contextos con las matemáticas, en esta ocasión, parece análisis.

Los que me leéis de vez en cuando o mis estudiantes, saben de mi afición por los espejos, pues en el Momath hay unos cuantos espejos para hacer magia matemática. Los ángulos por los que se unen varían dejando que al colocar las formas geométricas, la simetría y el color, den sentido al espacio.


Pero no podemos hablar de espejos sin hablar de anamorfismos, y es que pudimos juguetear con unos cuantos colocando el cilindro sobre el papel. Haciendo que aquel hombrecillo serio se pusiese a sonreír para nosotros. El anamorfismo no es más que una deformación por un procedimiento óptico como es el espejo curvo, y es que el cine o el arte se han aprovechado de las bondades de este procedimiento casi mágico.

  

¿Qué sucedería si sobre un cuadrado ponemos color a nuestros pies?


En este caso el cuadrado se desmonta en formas irregulares que nos permiten jugar con las áreas de una manera súper divertida.
Y es que en el Momath, no hay edad … encontrábamos personas muy diversas, jugando con los fractales o haciendo preciosas teselas sobre el plano.


Pocos días después de esta visita a New York, estuvimos en el Museo de Ciencias de Boston… esta visita os la contaré en una entrada próxima.
¡Sigamos disfrutando mientras observamos las matemáticas!







28 jul. 2018

Una estancia en Harvard


Seis y media de la mañana, cada día suena el despertador en el pequeño apartamento de Porter Square. Un café con leche, una tostada de pan con algún cereal, y un poco de queso traído de España, que parece irse racionando día a día como si de un tesoro se tratase.
Cada día me acompaña Dru, una pequeña gatita negra de bigotes blancos con la que comparto apartamento. Se oye el tren, las vías recorren la fachada de la casa de un lado al otro, y cada mañana siento que la vida se inicia cuando el olor que provoca el rozamiento de la máquina sobre los raíles me hace sentir que el día comienza de nuevo.
Casi media hora caminando por Mass Av, hasta llegar a la zona de la universidad. Es una ciudad joven, son pocas las personas de edad avanzada que nos cruzamos en el camino. Mochilas al hombro, con poco equipaje para el día: un pc, un cuaderno que nos compramos antes de venir cuál estudiantes que inician el curso, un bagel relleno y una fruta.
Al llegar a Harvard Square parece que la ciudad se transforma en universidad, decenas de jóvenes recorren las aceras. Los jardines se desdibujan bajo los pies de grupos de adolescentes que visitan los centenarios edificios. Cada rincón tiene una historia, algunas de ellas están señaladas con placas sobre el suelo o en alguna pared.

Aceras en Havard Street
El edificio que nos acoge pertenece al Real Colegio Complutense, una pequeña casa cuya escalera nos asoma a la belleza de las formas cada día. Tenemos salas de trabajo en pequeños grupos o salas grandes para poner en común resultados de trabajo conjunto.

Escaleras RCC. Foto de Marta Pla
La experiencia de una estancia en grupo, ha sido como esos realities de la televisión, pero esta vez no hubo cámaras ni divulgación, pocos se enteraron de lo que allí sucedía más allá de nuestras familias y compañeros de la universidad a los que dejamos alguna que otra tarea pendiente de solucionar. Catorce investigadores de distintas universidades españolas, distintos perfiles, distintas historias de vida que se han unido sin más objetivo que construir un foco donde observar qué está sucediendo con la enseñanza de las matemáticas en la etapa de Educación Secundaria en España. 

Calle de Cambridge
El trabajo fundamental comenzó hace ya un par de años en un encuentro en Castro Urdiales, poco a poco se ha ido consolidando con reuniones de trabajo en las distintas universidades o utilizando la red como medio de encuentro. Algunos de nosotros hemos vivido la etapa Secundaria en primera persona, pero ahora desde la universidad ¿cómo podemos mejorar las prácticas? Pues contando qué es lo que se está haciendo en tiempo real en las aulas.


Patio central de Harvard University

Ahora que estamos a punto de irnos para España, nos queda no perder este espíritu de colaboración que surgió en estos días. Sigamos compartiendo los días como si fuesen minutos, y los años como si fuesen semanas. Queda mucho por hacer tras haber dado estos primeros pasos, que siempre son los más complejos, pero que gracias a una dirección exquisita, de la mano de la Dra. Joglar, y unas colaboraciones ricas en lo personal y en lo profesional, de la mano de Jon Star, Heather Hill o Bárbara Brizuela, nos llevarán siempre a recordar estas semanas como especiales.


Gracias por haber hecho este tiempo compartido posible #RCC








25 may. 2018

¿Por qué solo sé resolver si se llama "equis"?

Uno de los momentos en los que parece que la carga emocional durante el aprendizaje entra en juego de una manera poco positiva, es cuando los estudiantes trabajan con el álgebra. Me atrevo a afirmar que las razones no son otras que las relacionadas con el aprendizaje del lenguaje en matemáticas o en otro lado, la ausencia de contexto cuando lo enseñamos. Aparecen problemas a la hora de convertir el álgebra simbólica en "lenguaje para ser aprendido y utilizado" (Freudenthal, 1983, citado en Gallardo & Rojano, 1988), porque se asocia a veces con elementos extraños y hasta mágicos, que no llegan a comprender.
Es por eso, que siempre me gustó iniciar el trabajo con el álgebra desde los problemas, tanto desde el planteamiento como desde la solución, de enunciados con un sentido físico para los estudiantes.


En clase es habitual que utilicemos como base en el trabajo algebraico la x, la y o la z. Pocas veces son más las letras que aparecen en el aula, así los chicos se acostumbran ... "lo que no está pues x".
Sin embargo esta asociación lleva a convertirse en algo imposible de tener su propia identidad, y si les ponemos algo como
2A-5=7
Recurrirán de manera más que probable a sustituir el valor de A por x.
Quizá la misma procedencia del uso de la x -no del todo claro- puede dar las razones a día de hoy. No se sabe si se tomó X de "xei", simplificación del vocablo egipcio shei, cuyo significado era el número que no se conocía; o de "xenos", extraño en griego. Pero en cualquiera de los casos es "ese algo que no está, y tengo que buscar".

Los estudiantes cuando aprenden presentan dos obstáculos claros que como profesores hemos de tener en cuenta:
- La asociación con x siempre a una ecuación. Es decir, si yo les doy un
x+2x=
Intentan resolver a toda costa pese a que claramente es una operación algebraica.
- La necesidad de llamar x a todo lo que no se conoce. En estos casos no son capaces de resolver de manera correcta si no han llamado x a la cantidad desconocida en un problema.

María plantea bien desde el problema, pero cuando inicia el trabajo de resolución cambia de manera automática el nombre de la cantidad desconocida A por x
Podemos ayudar a los estudiantes en estos casos utilizando distintos registros de representación, trabajando con problemas de enunciados lógicos que puedan traducir a un lenguaje algebraico, poniendo en escena distintas maneras de llamar a las cantidades desconocidas.
Y sobre todo, si los chavales se equivocan, hagamos que el error sea una fuente de reflexión sobre la acción realizada de manera que sirva para apoyarse no como un hoyo en el que nos quedemos atrapados.

Referencias:
Gallardo, A., & Rojano, T. (1988). Áreas de dificultades en la adquisición del lenguaje aritmético-algebraico. Recherches en didatique des mathematiques, 9(2), 155-188.


9 may. 2018

El cero en la didáctica de las matemáticas

Entrada original: Martes, 27 diciembre 2016
UNIRevista: https://www.unir.net/educacion/revista/noticias/el-cero-en-la-didactica-de-las-matematicas/549201592562/



El cero en la didáctica de las matemáticas

Parece un número insignificante, redondito como un agujero que parece no contener nada, pero podemos considerarlo un número fundamental en las matemáticas que a veces no le damos la suficiente importancia.
“El cero derrotó a todos los que se le opusieron y la humanidad nunca pudo encajarlo en alguna de sus filosofías. En cambio, terminó dándole forma a la idea que los hombres tienen del Universo y de la divinidad”
Charles Seife
En una entrada anterior, cuando hablaba del signo igual, ya mencionaba mi interés por el número cero, así que vamos con mis reflexiones en torno a este número.
Cuando lo tratamos con los niños más pequeños, utilizamos expresiones como “el cero significa que no tenemos nada”, o entablamos diálogos con los niños de este tipo:
  • – Maestra: ¿cuántos caramelos tienes María?
  • – María: ninguno profe
  • – Maestra: eso lo representamos con el número cero, mira se escribe así.
Más tarde, cuando los niños pasan de los números naturales a los enteros, el cero parece tomar unas propiedades distintas y no indica ausencia. Por ejemplo, cuando expresamos “cero grados de temperatura”, no es que no haya temperatura, sino que toma un valor entre los grados positivos y negativos, que parece indicar que hemos de preocuparnos por cosas como que se nos congele el agua en las tuberías, que da al cero un valor importante.
Cero (del árabe sifr, vacío) Es curioso observar que cero y cifra tienen la misma etimología
(Fuente: Serrano, 2000: 89).
Ni entre matemáticos parecemos tener claro donde se encuentra este número, porque mientras unos lo consideran natural, otros lo excluyen ya de este primer conjunto de números.
El cero da lugar a situaciones mágicas, cuando al multiplicar por él, convertimos cualquier número en cero, o al utilizarlo como exponente, da lugar a la unidad. Ni qué decir cuando se encuentra en el divisor de una fracción, y nos da gratas sorpresas a veces dando lugar a infinitos de distintas naturalezas positivas o negativas. Así entre matemáticas, lógica y otras ciencias, el cero ocupa un lugar destacado en la didáctica de las matemáticas y en la interpretación del entorno.
Vamos a acudir a la historia para conocer qué sabemos del cero. Fue uno de los números de los que más tarde tenemos registro de su aparición, y es que pensemos por ejemplo, ¿cómo podríamos representar el cero en el sistema de numeración romano? La respuesta es que no podemos, ya que por unas u otras razones, los romanos no quisieron utilizarlo. Parece que fue Leonardo de Pisa (Fibonacci), quien en su libro sobre el ábaco –Liber abaci introdujo en Europa el sistema de numeración decimal que tenemos en la actualidad, y donde el cero ocupa una posición clave; estos estudios los basó Leonardo en los aprendizajes que tuvieron lugar en los viajes que realizó con su padre, desde las teorías transmitidas por estudiosos previos como Al-Khwarizmi, el padre del álgebra. Entre Incas y Mayas, el cero tenía un significado concreto y lo representaban con símbolos, por lo que la historia nos indica que desde tiempos ancestrales el cero se tuvo en consideración como una posición en los distintos sistemas de numeración utilizados, relacionado con lo visible o lo invisible, por ejemplo, entre algunas culturas con la luna ausente mientras es nueva.
Ahora vamos a ilustrar nuestras ideas con un vídeo, que nos hace ver como Cero un pequeño muñeco de hilo, consigue cosas tan increíbles como dar lugar a infinito, podríamos decir que cosas de matemáticos, pero ¿puede haber algo más bello que este tipo de transformaciones mágicas?:
Terminemos con unas recomendaciones de lectura para los niños –a partir de 10 años-, “El increíble viaje del Cero”, un pequeño libro de Rafael Ortega, publicado por la editorial Nivola en 2010, que nos invita a una aventura con mensajes y tesoros que enseñará a los niños desde preciosas ilustraciones algunas de los posibles usos de nuestro protagonista, el número cero. Para esta misma edad “Los cuentos del cero”, de Luis Balbuena en la misma editorial de 2006, nos muestran distintas historias para conocer el cero en sus distintas facetas e historia. O para niños un poco mayores –desde 12 años-  “El señor del cero”, un libro de Isabel Molina, publicado en Alfaguara juvenil, que nos presenta una historia por la península del siglo X, donde José un mozárabe nos mostrará con una bonita historia su afición por las matemáticas.
Conoce más sobre el Cero en los siguientes enlaces:
Referencias:
Serrano, E. (2000). Etimología de algunos términos matemáticos. Suma, 35, 87-96.

6 may. 2018

A vueltas con el MIR docente...

Estos días me ha llegado por distintas fuentes, muy diversas, la propuesta de "construcción" de un MIR docente, como posible solución a la mejora de la situación de enseñanza-aprendizaje en España. Me he resistido a opinar, porque ya lo hice hace meses cuando esto surgió, pero hoy es domingo y da más tiempo a procesar las noticias, así que voy a sacar mis propias conclusiones.

Fuente de la imagen: Pixabay

La propuesta parece de provenir del grupo de Ciudadanos:


Fuente: Congreso

Iniciemos con la justificación y reflexión sobre algunos de los puntos descritos, desde lo personal y desde lo que veo y escucho en mis estudiantes como futuros maestros, y en los maestros en ejercicio con los que hablo en las escuelas.

1.  España aparece como uno de los países que menor porcentaje de docentes menores de 30 años presenta( menos del 10%), resaltando la dificultad del sistema para atraer a jóvenes motivados con educar a las futuras generaciones.
Cierto, pero ¿por qué no analicemos las causas?
- Falta de prestigio social
- Todo el mundo opina sobre educación
- Burocratización de los colegios
- Falta de autonomía del docente
- Impulso de innovación sin sustento

Basándose en un estudio con "muestreo intencional" a 619 personas se justifican los siguientes puntos  que describo (Fuente: CDL), ¿muestra representativa para justificar un cambio? Comienzo por recomendar a los elaboradores de esta propuesta que miren las necesidades muestrales para que un estudio tenga cierto grado de fiabilidad.

2. Cerca del 70% de los docentes encuestados señalan que es necesaria una reforma del sistema actual de selección para acceder a la profesión docente. Casi el 80% de los docentes encuestados coincide en que el sistema de selección para acceder a la profesión docente debiera tener los mismos criterios para centros públicos que concertados.
Yo también creo que hay que cambiar la forma de acceso, pero también de permanencia. Y que no está tan mal equiparar en todo el sistema público el acceso, aunque esta parte la veo más complicada sobre todo para algunos colegios "demasiado particulares", que bueno a lo mejor es que no tenían que ser concertados, no entremos en eso.
Ahora la forma de acceso tiene como prioritaria la memorización y los contenidos curriculares. No se tiene en cuenta mucho de la historia anterior, por ejemplo, nada de lo que sucedió en los estudios de Grado.
En especialidades como matemáticas, pueden acceder personas con otras titulaciones, bien, pero ¿qué tal si se puntúa un poquito a la disciplina de la rama? Esto pasa también en otras áreas, creo que debería ser algo a revisar con cierta urgencia.
También debería haber una prueba didáctica, completamente objetiva, que no dependiese tanto de la fortuna o suerte como ahora.
E iniciaba yo el asunto señalando no el acceso sino la permanencia, en todas las escuelas que visito hay docentes que no trabajan como debieran hacerlo, sea falta de vocación, de ganas o de saberes, pero el sistema tal y como está montado deja que los niños año tras año pasen por esas clases, mientras los padres y madres cruzan los dedos al iniciar el curso porque no les asignen al mencionado docente ¿No deberíamos analizar estas situaciones que son muchas y variadas?

3. Asimismo, los docentes reclaman una reforma urgente del período de inducción profesional que preste atención especial a la adquisición de las competencias didáctico-pedagógicas. — El modelo de inducción profesional docente que más popularidad alcanza entre los encuestados es el que se refiere al estilo del MIR que se realiza para los médicos.
Me viene a la cabeza la chica que está con mi doctora de familia en la consulta, o los amigos que han hecho su residencia en hospitales. En Medicina los periodos de prácticas son muchos de manera previa a incorporarse. Y la tutela con una dedicación facilitadora.
Una vez incorporado tienen un sistema de regulación jurídica especial, y una remuneración por su labor, ¿cómo se haría esto en Educación? ¿Improvisando?
El acceso al MIR es con un test de 225 preguntas, ¿cómo regular esto en Educación sobre todo para los maestros generalistas o se va a buscar la especialización temprana? Y el punto clave de la misión es que tenemos competencias transferidas a tal nivel que las asignaturas y contenidos son distintos en cada una de nuestras Comunidades, ¿parece que la prueba se plantea a nivel nacional
Los residentes MIR atienden a los pacientes con una buena supervisión, y esto en Educación cómo va a hacerse ¿Les darán horas a los docentes tutores para formar? ¿Podrán actuar con los niños/as desde el inicio? ¿Se convertirán en los profesores de desdoble en los casos problemáticos? Me entran mil dudas porque no veo un sistema efectivo previendo lo que puede suceder sin haber probado un pilotaje previo.
Reflexionemos además que en el MIR no todo es oro, y es suficiente con consultar las noticias en la red para ver la cantidad de problemas que aparecen cuando esas tutelas no son tan efectivas como deberían ser.

Ya los decanos de las Facultades de Educación, plantean sus dudas “Seleccionar a los mejores no es seleccionar a los mejores expedientes, hay otros elementos no atendidos que son cruciales en el ejercicio de la profesión. Hay que definirlos y definir cómo evaluarlos y no es tarea fácil” (Fuente: El País).


Y termino diciendo, que lo que pide la Educación es respeto a sus profesionales, recuperar la autonomía perdida en pro de la burocracia, colaboración entre niveles educativos y apertura de los centros a la comunidad. Más recursos en los niveles inferiores que es donde se concentran la mayoría de los problemas, porque el aprendizaje es similar a como se construye una casa sólida, buenos cimientos, paredes cuidadas y coloreadas con mimo, para que al llegar al tejado no haya goteras mientras se colocan las tejas con cuidado sobre la cubierta.

20 abr. 2018

¿Cuándo retirarse de la docencia?

Estos días de estancia en Chile, me están haciendo reflexionar sobre muchas cosas, pero una de ellas más que otras por la sorpresa que me está causando.
En mi primer día de visita a las escuelas, me sorprendió ver la edad de algunos maestros, sobre todo pensándoles en el aula.
En Chile la jubilación es tardía, parece que las bases de cotización hacen que la cuantía a recibir de manera pública sea escasa, así que muchos maestros y maestras optan por no jubilarse porque probablemente su retribución no les llegaría ni para cubrir las necesidades básicas.
Esto me hace reflexionar sobre los cambios que parecen avecinarse en España, y si ¿la edad de retiro debería ser igual para todas las profesiones?



En Chile, puedes jubilarte a partir de los 60 para las mujeres y los 65 para los hombres, y me surge la pregunta y ¿esto por qué? Si al menos hubiese un beneficio para la mujer lo podría justificar, pero... no es el caso, solamente hablaron de un "mayor desgaste de la mujer", que no voy a ser yo quién diga que no es así, aunque no generalicemos que de todo hay. He de decir que estos datos no los he comprobado, más que por las conversaciones de café que tenía en las escuelas.
Ahora, la jubilación es voluntaria. Así, me encontré a un señor de 82 años en una escuela, que estaba en la clase con los muchachos de 10 años. Y algunos me dirán que no pasa nada, que si su cabeza está activa puede enseñarles mucho, que... pero discrepo, y ya no porque aquel hombre no tuviese todas sus capacidades sino por el respeto también a su descanso. Y sentado allí sobre su silla, poco después de la hora del desayuno se le cerraban los ojillos cansados, igual que le pasaba a mi abuela cuando se recostaba cada tarde en su sofá orejero.
Llega un momento en la vida en que necesitas descansar, y quizá puedas negarte a verlo sintiéndote ágil física y mentalmente, pero delante de ti tienes mínimo veinticinco mozalbetes, ávidos de emociones y ágiles de reflejos, que necesitan un maestro que les guíe por diferentes facetas de su vida, que les enseñe desde pasado, presente y futuro, con buenas dosis de energía.
En la universidad también hay profesores bastante mayores, que podrían significar una figura parecida al emérito de las universidades españolas, sin embargo, son docentes sin ninguna distinción horaria en la mayoría de los casos, con largas jornadas docentes y espacios poco adaptados a cuidarse la espalda por ejemplo.
Así, hemos de pensar que retirarnos de la profesión no es quedarnos a un lado, al contrario, es el momento de hacer esas cosas estimulantes que de otra manera no pudiste hacer, pero hemos de dejar paso a las nuevas generaciones que traen savia nueva.

12 abr. 2018

Crónica de una estancia de investigación en Chile


 Escribo estas palabras todavía en mi lugar de estancia, lugar adorable de contrastes en todos los sentidos, y personas que están intentando que sienta afecto del hogar que dejé lejos.


- La cultura Chinchorro vivió en la zona hace muchos años, nómadas que llegaron a este lugar y se asentaron honrando a sus muertos dándoles forma para la eternidad-
https://www.destinoarica.cl/cultura-chinchorro



Cuando estás fuera de casa los días duran más, y quizá no porque hagas más cosas que hacer sino porque es como una cuenta atrás de los minutos que te quedan de volver a ver esas caritas preciosas que llenan tu vida cada tarde al volver de la escuela. Porque aunque estés infinitamente a gusto, estar lejos de los tuyos siempre es un precio que pagas que casi no puede medirse.
Pero vamos a relatar como se inicia y por qué, que si no me entra la morriña.

- La universidad se dibuja de frases con mensaje en sus paredes-

En primer lugar recibes la invitación y casi das botes de alegría, alguien te invita y además cubre tus gastos de desplazamiento y manutención. Lo normal es que estas estancias se asocien a un proyecto financiado, así que menuda suerte he tenido con que alguien piense que yo soy la persona adecuada para viajar al otro lado del mundo, en mi caso a la Universidad de Tarapacá en el norte de Chile en una pequeñita ciudad llamada Arica, al lado del mar.
Bien, organicemos, fechas, reuniones, formación, espacios, … todo lleva su tiempo desde la universidad que te invita y a tí en la logística que supone, dejar a tus estudiantes atendidos, reuniones de tus proyectos organizadas de manera virtual -con la previsión de un cambio horario considerable-, preparar las sesiones que vas a impartir -en mi caso se inicio con una plenaria en las XXI Jornadas Nacionales de Educación Matemática-, … en fin, que casi un mes antes estar en casa pero casi con un pie saliendo de ella.
Despacho en la UTA

Y muchos se preguntarán antes de que relate qué estoy viviendo aquí, qué necesidad tengo de esta aventura lejos de casa. Primero, para crecer, y no es que vaya a crecer para arriba sino para crecer como docente y como investigador, ¿se puede aprender más que teniendo elementos de contraste para hacerlo? En segundo lugar, para cubrir un currículo. Como bien sabéis la vida del profesor de universidad siempre pende de las sucesivas acreditaciones, y para ello se nos pide estancias en universidades.
Así que en nada me estaba despidiendo de mi familia en la T4 para emprender un largo viaje, dos aeropuertos, una escala que me permitió conocer Santiago de Chile y muchas horas de avión. Eso sí, a mi llegada de madrugada me esperaban en el aeropuerto con una gran sonrisa.


Los primeros días, los pasamos de congreso. Interesante congreso, con un gran número de profesores e investigadores chilenos, pero también había asistentes de otros países, y esto enriqueció de una manera especial las charlas e intervenciones durante las jornadas, que en algunos casos se alargaron a cenas de hermanamiento.
-Sesiones de formación con los estudiantes de Pedagogía Básica de la UTA-
Pero el sábado todos se marcharon, y yo me quedé para tener el domingo la jornada de reflexión para preparar materiales. Durante esta semana he visitado ya algunos colegios, y otros que me quedan, para dar cursos de formación a los maestros chilenos. Está siendo fantástico. Visitar las escuelas, conocer a las maestras y maestros, conocer sus inquietudes, su día a día, el funcionamiento de sus escuelas, … en algunos casos ver a los niños en el aula, ¡voy a tener un montón de cosas que contar a mis estudiantes en los próximos cursos en la universidad! Esta ha sido una oportunidad maravillosa no prevista inicialmente, y es que gracias a la UTA estamos dando formación a varias escuelas municipales, donde acuden maestros de distintas áreas del currículo y compartimos a través de taller conocimientos y cultura desde la didáctica de las matemáticas.

-Taller en la E-15-

Esto se va complementando cada día con reuniones con los equipos de la universidad, elaboración de instrumentos, publicaciones en marcha, proyectos de futuro, … más o menos como un montón de pequeños granos de arena que necesitamos unir y dar forma.
-Parte del equipo PACE que tanto están haciendo por cuidarme-

Pero la noche llega todos los días, y las habitaciones de hotel lejos de ser cálidas no son más que cuatro paredes frías, que son igual en todas las partes del mundo. Una cama, una mesa, una nevera, dos maletas y soledad.


Aún así, volveré a Arica y continuaré haciendo estancias en otros lugares del mundo, pese al esfuerzo físico y emocional que supone, porque ante todo sé que estoy creciendo personal y profesionalmente y un maestro que se quede quieto ese día dejará de ser maestro.


En los próximos meses os contaré más cosas de cómo terminó mi tiempo aquí, y cómo se iniciaron nuevos proyectos que ya desde hoy me están pareciendo muy interesantes para continuar aprendiendo.


25 feb. 2018

La importancia de la representación en matemáticas

Artículo original: 25/10/2016 (UNIR-Revista)

elipse
Imagen: Representaciones de la elipse

Podría empezar esta entrada diciendo que no todo lo que veo de una manera los demás deben verlo así. No me refiero con mi expresión a los diferentes puntos de vista de una situación sino a las múltiples formas de percibir y manejar las distintas representaciones que permiten entrar en contacto con conceptos matemáticos. Con esto comienzo señalando los dos tipos de representaciones que vamos a manejar desde este área de conocimiento, las representaciones mentales y las representaciones semióticas; siendo estas últimas las que cada persona produce para expresar sus representaciones mentales (Font, 2000).

No podemos hablar de la didáctica de la matemática sin hablar de los distintos tipos de representación, “como un punto de vista específico de la disciplina hemos de tratar con múltiples representaciones, ya que juegan un papel doble para el aprendizaje de las matemáticas. Por un lado, son esenciales para comprensión matemática, pero por otro lado también pueden ser un obstáculo para el aprendizaje” (Dreher y Kuntze, 2015, p. 89). Por ejemplo, Hitt (1997) señala el fracaso de un grupo de estudiantes de ingeniería por las carencias que muestran en la articulación entre unas representaciones y otras, trabajando el álgebra de manera algorítmica y mecánica, sin tener clara la meta.

La didáctica de la matemática sustenta parte de su labor en el uso de imágenes, dibujos o símbolos que tienen como misión facilitar la comprensión de los conceptos. Son distintas las investigaciones que se fundamentan en el análisis y estudio del número de conexiones que se pueden establecer entre los sistemas de representación, facilitando la comprensión que tiene lugar en el estudiante en relación a los conceptos puestos en juego, siendo esta más sólida y completa (Arnal et al., 2016; Arteaga y Macías, 2016; Macías-Sánchez, 2015; Duval, 2006; NCTM, 2000; Janvier, 1987).

Sin embargo, la conexión entre las representaciones no siempre se produce de manera obvia, sino que requiere de procesos de interpretación, “cada vez que los estudiantes son introducidos a una nueva representación, tienen que aprender cómo se utiliza y se interpreta en la comunidad matemática y en su aula de matemáticas. Por otra parte, no es suficiente para considerar esta representación de forma aislada para no confundirla con el objeto matemático correspondiente, pero las conexiones con otras representaciones de este objeto deben estar presentes con el fin de ir más allá de la representación específica y para ser capaz de cambiar entre diferentes representaciones” (Dreher y Kuntze, 2015, p. 91).

Como recomendación didáctica, concluyo esta entrada con las palabras de Duval (2006, p. 167),
“analizar los procesos cognitivos que subyacen en el aprendizaje de las matemáticas requiere un cambio o una orientación en la forma que las tareas y los problemas se seleccionan para el aprendizaje de los estudiantes y también para la investigación sobre el aprendizaje (…) Se requieren también métodos que vayan más allá de lo que que se deja constancia en la escala de trabajo diario en el aula”.

Con esta aportación, quiero invitar a la reflexión de los futuros docentes de matemáticas respecto al uso de materiales, como un aspecto fundamental para garantizar la comprensión de los contenidos. No debemos seleccionar problemas o tareas sin reflexión previa del docente, sustentada en el conocimiento de cada uno de los estudiantes como ser singular tanto desde el trabajo individual como en grupo, porque este tipo de acción puede dificultar la comprensión del registro expuesto y por tanto la conversión entre ellos.

Referencias:
Arnal, M., Arteaga, B., Baeza, M.A., Cid, A. I., Claros, F.J., Joglar, N., Macías, J., Sánchez, T. y Tolmos, P. (2016). Una propuesta que facilita el uso eficaz de los libros de texto a los futuros profesores de matemáticas. Póster en XX Simposio SEIEM 2016. Málaga, 8-10/9/2016.
Arteaga, B. & Macías, J. (2016) La representación en la resolución de problemas matemáticos como diagnóstico de estrategias metacognitivas. Comunicación en XVI Congreso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Matemáticas, ni más ni menos. Jerez de la Frontera, 4-7/7/2016.
Dreher, A. & Kuntze, S. (2015). Teachers’ professional knowledge and noticing: The case of multiple representations in the mathematics classroom. Educational Studies in Mathematics, 88(1), 89–114.
Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española9(1), 143-168.
Font, V. (2000). Algunos puntos de vista sobre las representaciones en didáctica de las matemáticas. Philosophy of Mathematics Education Journal14, 1-35.
Hitt F. (1997) Sistemas semióticos de representación. Revista Avance y Perspectiva, 16.
Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education. En C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 27–32). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Macías-Sánchez, J. (2015). Diseño y estudio de situaciones didácticas que favorecen el trabajo con registros semióticos. [Tesis Doctoral]. Facultad de Educación. Universidad Complutense de Madrid.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

29 ene. 2018

La escuela en España tiene un problema... de arriba a abajo



El señor Ministro de Educación habla sobre un MIR educativo y se encienden las alarmas, quizá como si fuese la guinda de una tarta de chocolate riquísima, que para cerrar ese rico bocado amarga.
Todos hablan de educación, todos hablan de la escuela, todos hablan de los maestros, ... y en ese todos entran todos los estamentos y personajes sociales, y lo triste de todo es que en ese todos, pocos saben, y por saber me refiero a que hayan vivido el significado de la Educación en mayúscula, desde las aulas.
No me voy a meter en términos políticos, ya otras veces en el blog he hablado de mi asombro por los gobernantes que tenemos sean del color que sean, porque si miro por ejemplo eso que llaman pacto educativo que más bien parece la comisión de accionistas de un banco cualquiera me doy cuenta de los intereses que mueven la educación en este país. Solo oigo cantos de las sirenas, aquellas hijas de Melpómene la diosa de la tragedia.
Pero sí que me voy a ir a la escuela, a la escuela que vivo a diario, desde arriba y desde abajo, porque soy una docente afortunada que ha paseado por todos los niveles educativos, en días de sol y de lluvia, por terreno llano y pedregoso, con un buen abrigo y con poca ropa para hacer el camino. Y estas metáforas que siento, es lo que los profesores viven a diario.
Llevo más de 22 años como docente, he aprendido y sigo aprendiendo a serlo cada día en el aula, pero tuve suerte de vivir la escuela en otro tiempo. Viví la escuela de la Ley de 1970, donde los profesores nos prepararon para profesiones que entonces no existían -parece la novedad ahora, y pregunto yo ¿a alguno de ustedes les prepararon para trabajar en entornos virtuales o llevar un aparato en el bolsillo que tiene infinitas enciclopedias?-, que nos enseñaron el premio por el esfuerzo -ahora tenemos que lograr las cosas por arte de magia, y nos echamos las manos a la cabeza porque los niños tengan tareas para casa por ejemplo-, que ayudaron a nuestros padres a enseñarnos la bonita sensación de libertad al otro lado de la escuela -y muchos de nosotros salimos de casa con apenas diecisiete años a vivir la universidad fuera de nuestras ciudades-. Y entonces la ratio eran 42 por aula, recuerdo aquellas clases sin pasillo para caminar. Con un patio al menos en mi escuela que estaba lleno de agujeros que se transformaban en estupendos charcos, sobre los que diseñábamos puentes y presas. Con uniformes que heredabas de primos y vecinos, no preocupándote la marca que llevasen. Estas nimiedades, que poco nos afectaron como escolares, son las que entran ahora en el debate.
Pero quiero hablar hoy de lo que yo creo que es la raíz del problema, el reconocimiento social del docente, ¿dónde se ha perdido? Los profesores viven en muchas escuelas más pendientes de la opinión de los padres y madres que de enseñar, ¿creen ustedes que esto es forma de trabajar? Pero desde esa raíz y hasta llegar a la parte más profunda de la tierra surgen otros problemas. 
¡Qué pena que desapareciesen las "anejas"!
En la universidad -la institución responsable de la formación de los maestros- cambiaron los títulos por grados, y da igual el nombre creo, pero me preocupan dos cosas allá, el acceso de los profesores, las prácticas y la forma de evaluación. El acceso docente a la universidad se rige por una certificación externa -acreditación ANECA- donde lo que se prioriza no es la docencia previa que apenas sirve sino publicaciones, estancias, y otros menesteres que por ejemplo hacen que desde mi área "didáctica de las matemáticas" convivamos pocos del área con muchos de topología, geometría algebraica, u otras áreas, impartiendo docencia en grados de infantil por ejemplo; algunos de ellos nunca vieron un aula no universitaria ni la verán jamás. Las prácticas en las escuelas que hacen los estudiantes, en muchos casos se transforman en situaciones burocratizadas, donde el profesor está más preocupado de rellenar papeles que del estudiante en su campo de actuación. Y la forma de evaluación de los estudiantes, que conjuga la parte continua con la parte final -que sigue siendo un examen al uso-; tenemos más de setenta estudiantes en el aula, la parte continua se limita a trabajos que los estudiantes hacen y exponen, pero sin entrar en profundidad porque el tiempo nos impide dedicarles el tiempo que necesitan. 


La escuela llora, porque nadie la mira de manera creativa. Porque estamos dejando al desamparo a los maestros que salen de las escuelas, que luego muestran ganas de aprender. Cada semana tengo la suerte de visitar escuelas distintas, de titularidad pública o concertada, y los maestros se esfuerzan por atender a los chavales muchas veces sin saber hacerlo porque nadie les enseñó.
Lo que necesita la escuela es un poco de apoyo, y no quiero que se traduzca mi opinión en cursos de formación que se convierten muchas veces en clases magistrales o recetas de pócimas mágicas. La escuela necesita espacios donde los maestros compartan y aprendan juntos, necesita tiempos que reconozcan estos aprendizajes, necesita universidades donde se valore el esfuerzo y los docentes sean especialistas de las áreas, la escuela necesita RECONOCIMIENTO SOCIAL, porque sin escuela no nacerán el resto de las profesiones.

“En Japón, el único profesional que no precisa reverenciar al emperador es el profesor, pues, según los japoneses, en una tierra donde no hay profesores, no puede haber emperadores….”.

15 dic. 2017

El dominó de relaciones topológicas

Aún recuerdo lo poco que me gustaban las clases de Topología allá por segundo de la licenciatura, parece que ha pasado mucho tiempo desde entonces, pero siempre recordaré el "toro", y es que fue entonces cuando di significado a esa palabra de manera muy distinta a como la había conocido hasta entonces, ¡el toro era un donut!. 

Fuente: https://www.slideshare.net/HJvanVeen/tda-presentation-66148846
"La topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades del espacio que permanecen inalteradas cuando en éste se producen determinadas alteraciones llamadas transformaciones topológicas. Del conjunto de transformaciones topológicas posibles, los estiramientos, contracciones o torceduras reciben el nombre de transformaciones continuas, dado que no se contemplan cortes ni autointersecciones" (Montoya y Flores, 2003, p. 668).

Creo que lo que pasó es que no me enseñaron a ver las relaciones topológicas en los primeros aprendizajes con la geometría. Así que vamos a ver cómo construir un dominó con algunas de las relaciones topológicas que podemos utilizar.


Pero, ¿qué indican las relaciones topológicas y cuando podremos trabajarlas en el aula?
Partimos de que el niño está aprendiendo a representar el espacio, y que las relaciones topológicas son las primeras que vamos a trabajar -no todas-, de manera previa a las proyectivas y a las métricas.
"Las relaciones topológicas son las más sencillas, pues los objetos se conectan unos con otros en función de relaciones de proximidad, orden, cerramiento y continuidad. Alrededor de los dos años, el niño puede desplazarse por entornos conocidos o volver al punto de partida" (Alonqueo, Silva y Orellana, 2013, p.86).

Podríamos dibujar figuras que se "tocan en un solo vértice" por ejemplo, dándonos cuenta que esta relación no varía por deformación, por ello podemos considerarlo un invariante topológico. O dos formas de líneas discontinuas. O posiciones como interior, exterior y en el borde, forma también parte de esas relaciones topológicas que el niño debe comprender.
Para conocer los usos didácticos de otros tipos de dominó, podéis consultar una entrada previa sobre el dominó (UNIR Revista, 5 de abril de 2017):

El dominó en la clase de matemáticas

Hace unos días tuvimos una de esas reuniones con colegas en una sala, entre lápiz, cuaderno y tablet; allí fueron surgiendo las aportaciones, desde la visualización de vídeos en aula. Uno de los materiales que vimos fue un dominó para la práctica de la multiplicación, y esa idea me ha llevado a escribir mi entrada de esta semana basándome en los distintos dominós que podemos comprar o fabricar para aprender matemáticas.
El juego del dominó parece tener origen en China, siendo Marco Polo el viajero que hizo que llegase a Europa; se ha considerado un juego de taberna, pero en los últimos años podemos ver distintas variedades en las escuelas gracias a su potencial didáctico (González, 2000).
Podría nombrar varias razones que justificarían el uso del dominó como recurso de aula en las etapas obligatorias, pero me quedo con dos:
  • La gran variedad de posibilidades que tenemos para construirlos, facilitando así la personalización del aprendizaje
  • La posibilidad de incorporar el juego como recurso lúdico que siempre puede facilitarnos una situación más motivadora
Voy a mostrar algunas imágenes de los dominós que tengo en casa, pero quiero con esta entrada motivar a mis estudiantes a que construyan sus propios dominós; no tenemos más que pedir al carpintero que nos haga unas tablillas con los recortes del contrachapado, un poco de pintura, quizá algún recurso informático para generar formas y fórmulas, y… tendremos un material adaptado a nuestros estudiantes.
Con los más pequeños podríamos utilizar dominós con animales. Pensar, manipular, construir, diseñar una estrategia, … pueden encabezar los objetivos a alcanzar a la hora de utilizar estos juegos.
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En este caso los niños trabajan clasificación y seriación, consideradas como dos etapas previas al dominio del conteo.
Otro tipo puede ser el dominó de formas, donde podemos incorporar elementos topológicos, como dentro, fuera, arriba, abajo, …
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En el trabajo de Torres (2016, p. 40), se presenta el dominó como una “actividad lúdica atractiva que puede permitir a cualquier persona desarrollar un “razonamiento lógico, de conciencia espacial” (Tapson, 2004, p. s.d.) y habilidades cognitivas”, que además permite trabajar capacidades relacionadas con la lógica y la estadística, a modo de diseño de estrategias.
No nos olvidemos del dominó clásico, que al menos a mí, me recuerda a las tardes de juego con el abuelo en la mesa camilla cuando hacía frío para salir a la calle.
domino3
Podemos encontrar comercializados dominós de fracciones, porcentajes, o ángulos, que pueden facilitarnos la visualización en los cambios de representación fundamental en el aprendizaje de las matemáticas.
domino5
Pero hay otros dominós como el algebraico que pueden facilitarnos la práctica en la resolución, la interpretación del lenguaje algebraico, la representación, … La investigación llevada a cabo por Rodríguez-Domingo, Cañadas, Molina y Castro (2012), donde el dominó se utilizó como elemento de recogida de datos en una situación de aprendizaje del álgebra, ha permitido analizar y clasificar los errores de los estudiantes al transformar el lenguaje verbal a enunciado algebraico, así como las distintas representaciones que pueden hacerse de un mismo enunciado.
Salar (1989) señala algunas ventajas más del dominó desde el punto de vista de las reglas que implica el juego como buena actividad matemática “puesto que desarrolla diversas capacidades mentales que pueden transferirse con éxito a otras situaciones matemáticas de nivel diferente: llevar la cuenta de los puntos, ordenar, clasificar, asociar visualmente números a símbolos, elaborar estrategias de juego, etc.” (p.125).
¿Os animáis con vuestros propios diseños?

Referencias bibliográficas:

Alonqueo, P., & Silva, E., & Orellana, L. (2013). ¿Izquierda o derecha? El desarrollo de las relaciones espaciales proyectivas en escolares mapuche y no mapuche. Revista de Psicología, 22 (1), 85-96.  

González, J.L. (2000). El arte del dominó. Barcelona: Paidotribo.

Montoya, C., & Flores, P. (2003). Los puzzles en alambre como recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas. Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 6(3), 665-684.

Rodríguez-Domingo, S., Cañadas, M. C., Molina, M., & Castro, E. (2012). Errores en la traduccion de enunciados algebraicos en la construcción de un dominó algebraico. En J. E. Sagula (Ed.), Memorias del SEM 2012. Simposio de Educación Matemática (pp. 1214-1234). Argentina: Edumat.

Salar, Á. (1989). Barajas matemáticas y dominó de fracciones. SUMA, 4, 123-126.

Torres, D. (2016). El dominó como herramienta de enseñanza para favorecer el razonamiento matemático en el jardín de niños. En A. Barraza y T. Cárdenas, Proyectos de innovación didáctica en, y desde, los diferentes niveles educativos (pp. 33-51). México: Instituto Universitario Anglo Español.